Công thức hay quên!

Hi xin chào ae mình có quả não cá vàng nên học cái j thì cũng vài tuần không động đến là quên bén. Nên hôm nay mình ghi lại mấy công thức hay dùng ở đây để có gì khi nào quên thì lôi ra học đỡ phải lọ mọ lật lại vở cho đỡ mất công.

1. Công thức hàm gamma

\[\Gamma (z)\Gamma (1 - z)\frac{\pi }{{\sin (\pi z)}}\]

\[\Gamma (1 + z) = z\Gamma (z)\]

\[\Gamma (n + \frac{1}{2}) = \frac{{(2n - 1)!!}}{{{2^n}}}\sqrt \pi  \]

\[\Gamma (\frac{1}{2}) = \sqrt \pi  \]

2. Công thức biến đổi laplace

Định nghĩa: Cho f(t) xác định . Phép biến đổi laplace của f(t) là :

\[F(s) = \int\limits_0^\infty  {{e^{ - st}}f(t)dt}  = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \int\limits_0^T {{e^{ - st}}f(t)dt} \]

\[KH:L\{ f(t)\}  = F(s)\]

1.1 Biến đổi laplace của một số hàm cần nhớ:

\[L\{ 1\}  = \frac{1}{s}{\text{       DK  }}s > 0\]

\[L\{ {e^{at}}\}  = \frac{1}{{s - a}}{\text{      DK }}s > \operatorname{Re} \{ a\} \]

\[L\{ {t^n}\}  = \frac{{n!}}{{{s^{n + 1}}}}{\text{  }}DK{\text{ }}s > 0\]

\[L\{ \sinh (bt)\}  = \frac{b}{{{s^2} - {b^2}}}{\text{  }}DK{\text{ }}s > \left| b \right|\]

\[L\{ \cosh (bt)\}  = \frac{s}{{{s^2} - {b^2}}}{\text{  }}DK{\text{ }}s > \left| b \right|\]

\[L\{ \sin (at)\}  = \frac{a}{{{s^2} + {a^2}}}{\text{  }}DK{\text{ }}s > 0\]

\[L\{ \cos (at)\}  = \frac{s}{{{s^2} + {a^2}}}{\text{  }}DK{\text{ }}s > 0\]

\[L\{ u(t - c)\}  = \frac{{{e^{ - cs}}}}{s}{\text{  }}DK{\text{ }}s > 0\]

1.2 Công thức biến đổi:

\[L\{ {y^{(n)}}(t)\}  = {s^n}L\{ y(t)\}  - {s^{n - 1}}y(0) - {s^{n - 2}}y'(0) - ... - {y^{(n - 1)}}(0)\]

\[L\{ {e^{at}}f(t)\}  = F(s - a)\]

\[L\{ f(t - c)u(t - c)\}  = {e^{ - cs}}F(s)\]

\[L\{ f(t)u(t - c)\}  = {e^{ - cs}}L\{ f(t + c)\} \]

\[L\{ {( - 1)^n}{t^n}f(t)\}  = {F^{(n)}}(s)\]

\[L\{ \int\limits_0^t {f(\tau )d(\tau )} \}  = \frac{{F(s)}}{s}\]

\[L\{ f(t) \otimes g(t)\}  = F(s)G(s)\]