Công thức hay quên!

Hi xin chào ae mình có quả não cá vàng nên học cái j thì cũng vài tuần không động đến là quên bén. Nên hôm nay mình ghi lại mấy công thức hay dùng ở đây để có gì khi nào quên thì lôi ra học đỡ phải lọ mọ lật lại vở cho đỡ mất công.

1. Công thức hàm gamma

$$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(1-z)\frac{\pi }{\sin (\pi z)}$$

$$\mathrm{\Gamma }(1+z)=z\mathrm{\Gamma }(z)$$

$$\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi }$$

$$\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$$

2. Công thức biến đổi laplace

Định nghĩa: Cho f(t) xác định . Phép biến đổi laplace của f(t) là :

$$F(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$$

$$KH:L\{f(t)\}=F(s)$$

1.1 Biến đổi laplace của một số hàm cần nhớ:

$$L\{1\}=\frac{1}{s}\text{ DK }s>0$$

$$L\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\text{ DK }s>\mathrm{Re}\{a\}$$

$$L\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}DKs>0$$

$$L\{\sinh (bt)\}=\frac{b}{s^2-b^2}DKs>\left|b\right|$$

$$L\{\cosh (bt)\}=\frac{s}{s^2-b^2}DKs>\left|b\right|$$

$$L\{\sin (at)\}=\frac{a}{s^2+a^2}DKs>0$$

$$L\{\cos (at)\}=\frac{s}{s^2+a^2}DKs>0$$

$$L\{u(t-c)\}=\frac{e^{-cs}}{s}DKs>0$$

1.2 Công thức biến đổi:

$$L\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}L\{y(t)\}-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}{y}^{\prime }(0)-...-y^{(n-1)}(0)$$

$$L\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$$

$$L\{f(t-c)u(t-c)\}=e^{-cs}F(s)$$

$$L\{f(t)u(t-c)\}=e^{-cs}L\{f(t+c)\}$$

$$L\{(-1{)}^n{t}^{n}f(t)\}=F^{(n)}(s)$$

$$L\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d(\tau )\}=\frac{F(s)}{s}$$

$$L\{f(t)\otimes g(t)\}=F(s)G(s)$$